Transport optimal semi-discret et applications en optique anidolique / Semi-discrete optimal transport and applications in non-imaging optics

Directeur de thèse :     Dominique ATTALI

École doctorale : Electronique, electrotechnique, automatique, traitement du signal (EEATS)

Spécialité : MA-Mathématiques Appliquées

Structure de rattachement : UJF

Établissement d'origine : INPG/ENSIMAG

Financement(s) : Contrat doctoral ; Sans financement

Date d'entrée en thèse : 01/10/2015

Date de soutenance : 16/10/2018

Composition du jury :
Monsieur Marco CUTURI, Professeur, Université Paris-Saclay, Rapporteur
Monsieur Bruno LÉVY, Directeur de recherche, INRIA Nancy, Rapporteur
Monsieur Quentin MÉRIGOT, Professeur, Université Paris-Sud, Co-directeur de thèse
Monsieur Boris THIBERT, Maître de conférences, Université Grenoble Alpes, Co-directeur de thèse
Madame Dominique ATTALI, Directrice de recherche, CNRS, Directrice de thèse
Madame Julie DIGNE, Chargée de recherche, CNRS, Examinateur
Monsieur André LIEUTIER, Ingénieur, Dassault Systèmes, Examinateur
Monsieur Édouard OUDET, Professeur, Université Grenoble Alpes, Examinateur

Résumé : Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de nombreux problèmes d'optique anidolique. Plus précisément, il s'agit de construire des composants optiques qui satisfont des contraintes d'illumination à savoir que l'on veut que la lumière réfléchie (ou réfractée) par ce composant corresponde à une distribution fixée en avance. Comme applications, nous pouvons citer la conception de phares de voitures ou de caustiques. Nous montrons que ces problèmes de conception de composants optiques peuvent être vus comme des problèmes de transport optimal et nous expliquons en quoi cette formulation permet d'étudier l'existence et la régularité des solutions. Nous montrons aussi comment, en utilisant des outils de géométrie algorithmique, nous pouvons utiliser une méthode numérique efficace, la méthode de Newton amortie, pour résoudre tous ces problèmes. Nous obtenons un algorithme générique capable de construire efficacement un composant optique qui réfléchit (ou réfracte) une distribution de lumière prescrite. Nous montrons aussi la convergence de l'algorithme de Newton pour résoudre le problème de transport optimal dans le cas où le support de la mesure source est une union finie de simplexes. Nous décrivons également la relation commune qui existe entre huit différents problèmes de conception de composants optiques et montrons qu'ils peuvent tous être vus comme des équations de Monge-Ampère discrètes. Nous appliquons aussi la méthode de Newton à de nombreux problèmes de conception de composants optiques sur différents exemples simulés ainsi que sur des prototypes physiques. Enfin, nous nous intéressons à un problème apparaissant en transport optimal numérique à savoir le choix du point initial. Nous développons trois méthodes simples pour trouver de “bons points initiaux qui peuvent être ensuite utilisés comme point de départ dans des algorithmes de résolution de transport optimal.
RÉSUME DE THÈSE (anglais)
In this thesis, we are interested in solving many inverse problems arising in optics. More precisely, we are interested in designing optical components such as mirrors and lenses that satisfy some light conservation constraints meaning that we want to control the reflected (or refracted) light in order match a prescribed intensity. This has applications in car headlight design or caustic design for example. We show that optical component design problems can be recast as optimal transport ones for different cost functions and we explain how this allows to study the existence and the regularity of the solutions of such problems. We also show how, using computational geometry, we can use an efficient numerical method namely the damped Newton's algorithm to solve all these problems. We will end up with a single generic algorithm able to efficiently build an optical component with a prescribed reflected (or refracted) illumination. We show the convergence of the Newton's algorithm to solve the optimal transport problem when the source measure is supported on a finite union of simplices. We then describe the common relation between eight optical component design problems and show that they can all be seen as discrete Monge-Ampère equations. We also apply the Newton's method to optical component design and show numerous simulated and fabricated examples. Finally, we look at a problem arising in computational optimal transport namely the choice of the initial weights. We develop three simple procedures to find “good initial weights which can be used as a starting point in computational optimal transport algorithms.