Très vite, Malcolm Sabin nous a lancé le défi suivant: peut-on adapter les schémas connus pour maîtriser les artefacts qu'ils provoquent autour des point extraordinaires, annonçant son appel de la Conférence Curves and Surfaces à St Malo en 2002. Depuis, je poursuis quelques pistes au sein de cette recheche :

Construction d'outils pour l'analyse d'un schéma de subdivision

• "Techniques for Simplifying Subdivision Matrix Eigencomponent Computation"
  C.Gérot
  In Minisymposium Structure of Subdivision Surfaces organized by Georg Umlauf, SIAM Conference on Geometric Design and Computing, Phoenix AZ, 2005.
• "Simple computation of the eigencomponents of a subdivision matrix in the Fourier domain"
  L.Barthe, C.Gérot, M.A.Sabin, L. Kobbelt
  In N. A. Dodgson, M. S. Floater and M. A. Sabin, editors, Advances in Multiresolution for Geometric Modelling, Springer-Verlag, 2005,ISBN 3-540-21462-3, pp. 247--260.

Analyse alternative d'un schéma de subdivision pour un "bon comportement" de la surface limite plutôt que des propriétés de continuité différentielle

• "Antagonism between Extraordinary Vertex and its Neighbourhood for Defining Nested Box-Splines"
  C.Gérot, F. Destelle and A. Montanvert
  In M.Daehlen et al. Eds., Mathematical Methods for Curves and Surfaces MMCS 2008, Tonsberg, Norway, LNCS 5862, Springer Verlag, 2010, p.242-260
• "Analyse spectrale des artefacts en subdivision"
  François Destelle, Salem Saïd, Cédric Gérot et Annick Montanvert
  GRESTI'09, 2009.
• "Subdivision as a sequence of sampled C^p surfaces"
  C.Gérot, L.Barthe, N.A.Dodgson, M.A.Sabin,
  In N. A. Dodgson, M. S. Floater and M. A. Sabin, editors, Advances in Multiresolution for Geometric Modelling, Springer-Verlag, 2005,ISBN 3-540-21462-3, pp. 261--272.

La section précédente concerne des schémas linéaires stationnaires uniformes. Je me suis par la suite intéressé à l'interrogation de ces frontières et ai commencé l'inspection des territoires dont elles gardaient l'entrée:

Subdivision non-uniforme

• "vers une Analyse Multirésolution Non-Uniforme fondée sur le Nombre d'Or"
  C.Gérot, V. Nivoliers, N. F. Stewart, V. Ostromoukhov
  séminaire du DIS - GIPSA-Lab Grenoble, Juin 2012.
• "L-system specification of knot-insertion rules for non-uniform B-spline subdivision"
  V.Nivoliers, C.Gérot, V. Ostromoukhov, N.F.Stewart
  Computer Aided Geometric Design, vol. 29, Issue 2, 2012, p.150-161

Combinaisons affines de schémas de subdivision

• "Linear Combination of Subdivision Schemes"
  C.Gérot, I. Ivrissimtzis, M. Sabin
  Workshop on Subdivision and Refinability, Pontignano, October 2009

Descripteur de subdivision topologique bi-varié généralisé

• "A Topological Lattice Refinement Descriptor for Subdivision Surfaces"
  F. Destelle, C.Gérot, and A. Montanvert
  In M.Daehlen et al. Eds., Mathematical Methods for Curves and Surfaces MMCS 2008, Tonsberg, Norway, LNCS 5862, Springer Verlag, 2010, p.242-260

L'inspection horizontale du monde des schémas de subdivision évoquée ci-dessus s'est naturellement complétée de l'inspection verticale des domaines scientifiques se trouvant en amont ou en aval de ce monde :

Prédicteur d'une réprésentation multi-échelles non-linéaire non-séparable

• "Nonlinear and non-separable multiscale representations based on Lipschitz perturbation"
  C.Gérot, B.Mateï and S.Meignen
  Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics, vol. 349, Issues 13-14, 2011, p.714-744

Box-Splines et schéma lifting pour des objets animés 3D

• Travaux entrepris avec Frédéric Payan, Basile Sauvage et Franck Hétroy (Projet PPF Maths-Info 2009 et projet Jeunes Chercheurs GdR ISIS 2007)

Décompositions de matrices

• C. Gérot, P.Granjon, N. Le Bihan, "Autour de la diagonalisation" petit mémento à propos de quelques décompositions de matrices, 2003

• "Simple flexible skinning based on manifold modeling"
  F. Hétroy, C.Gérot, L. Liu and B. Thibert
  In International Conference on Computer Graphics Theory and Applications (GRAPP09), Lisboa, Portugal, 2009.

Après avoir étudié ce que pouvait être un modèle de surface fondé sur la représentation par un atlas de cartes, j'ai choisi de l'appliquer à l'approximation d'un maillage triangulaire M donné par une surface régulière décrite par un atlas. Ceci se fait en trois temps :

1. nous approchons M par une famille de primitives (morceaux de plans approchant une région définie sur M,
2. les primitives sont paramétrées sur des domaines de R2 reliés par des fonctions de transitions qui sont des C1-difféomorphismes,
3. grâce à cette structure d'atlas et à la définition d'une partition sur celle-ci, nous fondons les primitives entre elles par combinaison convexe.

Vous pouvez retrouver ces réflexions sur les applications de ce modèle de surface en informatique graphique dans le chapitre 3 (168Kb) de mon mémoire de thèse et dans la publication suivante :

• "Surface interpolation by means of convex combinations",
  C.Gérot, D.Attali et A.Montanvert,
  T.Lyche, M.-L.Mazure et L.L.Schumaker, Eds., Curve and Surface Design Saint-Malo, 2003, Nashboro Press Nashville TN, p.177-186

Approximation d'une surface triangulée par des plans

Pour appocher une surface triangulée par des plans, je propose de définir un recouvrement de celle-ci, c'est-à-dire un ensemble de régions se superposant et tel que chacune soit bien approchée par un plan. Ce travail a nécessité le recours à des notions de topologie, de graphe, et de simplification de triangulation. Nous avons en particulier démontré que le nerf d'un recouvrement bien formé est une triangulation combinatoire. Tout ceci est présenté dans le chapitre 4 (1Mb) de mon mémoire.

Approximation C1 d'une couronne polygonale du plan

La deuxième étape de la construction demande la définition de fonctions de transition entre les domaines de paramétrisation des primitives. Cela nous permet de mettre en correspondance les points des primitives que l'on combinera ensuite pour assurer le raccord continu de celles-ci. Aussi ces fonctions de transition doivent être des C1-difféomorphismes entre des parties d'une zone périphérique définie sur chaque domaine, cette zone étant une couronne polygonale. Pour que cela soit possible, il convient alors d'approcher au préalable cette couronne par une couronne lisse. C'est ce que j'ai proposé dans le chapitre 5 (810Kb) de mon mémoire.

Raccord des primitives planes en une surface lisse

Enfin, grâce à ces fonctions de transition, nous pouvons raccorder les primitives planes en une surface lisse par combinaison convexe. J'ai présenté ce raccord dans l'article (1.7Mb) suivant :

• ``From local approximation to a G^1 global representation'',
  C.Gérot, D.Attali et A.Montanvert,
  P.-J.Laurent, P.Sablonnière et L.L.Schumaker, Eds., Curve and Surface Design Saint-Malo, 1999, Vanderbilt University Press Nashville TN, p.109-118

ainsi que dans le chapitre 6 (340Kb) de mon mémoire. Ce type de raccord a deux avantages essentiels : l'approximation du maillage triangulaire de départ par la surface qui en résulte est du même ordre que son approximation par les primitives. De plus, il permet de raccorder un nombre quelconques de primitives simultanément.