GEROT
Cédric
Maître de conférences UPMF
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L'auteur principal des différents résultats est indiqué en gras.

Schémas de Subdivision


Ce fut lors d'un séjour de trois mois au sein du Rainbow Group du laboratoire d'informatique de Cambridge, financé par le programme européen MINGLE que je m'initiai aux schémas de subdivision avec Malcolm Sabin , Neil Dodgson et Loïc Barthe .

Analyse

Très vite, Malcolm Sabin nous a lancé le défi suivant: peut-on adapter les schémas connus pour maîtriser les artefacts qu'ils provoquent autour des point extraordinaires, annonçant son appel de la Conférence Curves and Surfaces à St Malo en 2002. Depuis, je poursuis quelques pistes au sein de cette recheche :

Construction d'outils pour l'analyse d'un schéma de subdivision

  • "Techniques for Simplifying Subdivision Matrix Eigencomponent Computation"
    C.Gérot
    In Minisymposium Structure of Subdivision Surfaces organized by Georg Umlauf, SIAM Conference on Geometric Design and Computing, Phoenix AZ, 2005.
  • "Simple computation of the eigencomponents of a subdivision matrix in the Fourier domain"
    L.Barthe, C.Gérot, M.A.Sabin, L. Kobbelt
    In N. A. Dodgson, M. S. Floater and M. A. Sabin, editors, Advances in Multiresolution for Geometric Modelling, Springer-Verlag, 2005,ISBN 3-540-21462-3, pp. 247--260.

Analyse alternative d'un schéma de subdivision pour un "bon comportement" de la surface limite plutôt que des propriétés de continuité différentielle

  • "Antagonism between Extraordinary Vertex and its Neighbourhood for Defining Nested Box-Splines"
    C.Gérot, F. Destelle and A. Montanvert
    In M.Daehlen et al. Eds., Mathematical Methods for Curves and Surfaces MMCS 2008, Tonsberg, Norway, LNCS 5862, Springer Verlag, 2010, p.242-260
  • "Analyse spectrale des artefacts en subdivision"
    François Destelle, Salem Saïd, Cédric Gérot et Annick Montanvert
    GRESTI'09, 2009.
  • "Subdivision as a sequence of sampled C^p surfaces"
    C.Gérot, L.Barthe, N.A.Dodgson, M.A.Sabin,
    In N. A. Dodgson, M. S. Floater and M. A. Sabin, editors, Advances in Multiresolution for Geometric Modelling, Springer-Verlag, 2005,ISBN 3-540-21462-3, pp. 261--272.

Généralisation

La section précédente concerne des schémas linéaires stationnaires uniformes. Je me suis par la suite intéressé à l'interrogation de ces frontières et ai commencé l'inspection des territoires dont elles gardaient l'entrée:

Subdivision non-uniforme

  • "vers une Analyse Multirésolution Non-Uniforme fondée sur le Nombre d'Or"
    C.Gérot, V. Nivoliers, N. F. Stewart, V. Ostromoukhov
    séminaire du DIS - GIPSA-Lab Grenoble, Juin 2012.
  • "L-system specification of knot-insertion rules for non-uniform B-spline subdivision"
    V.Nivoliers, C.Gérot, V. Ostromoukhov, N.F.Stewart
    Computer Aided Geometric Design, vol. 29, Issue 2, 2012, p.150-161

Combinaisons affines de schémas de subdivision

  • "Linear Combination of Subdivision Schemes"
    C.Gérot, I. Ivrissimtzis, M. Sabin
    Workshop on Subdivision and Refinability, Pontignano, October 2009

Descripteur de subdivision topologique bi-varié généralisé

  • "A Topological Lattice Refinement Descriptor for Subdivision Surfaces"
    F. Destelle, C.Gérot, and A. Montanvert
    In M.Daehlen et al. Eds., Mathematical Methods for Curves and Surfaces MMCS 2008, Tonsberg, Norway, LNCS 5862, Springer Verlag, 2010, p.242-260

Utilisation

L'inspection horizontale du monde des schémas de subdivision évoquée ci-dessus s'est naturellement complétée de l'inspection verticale des domaines scientifiques se trouvant en amont ou en aval de ce monde :

Prédicteur d'une réprésentation multi-échelles non-linéaire non-séparable

  • "Nonlinear and non-separable multiscale representations based on Lipschitz perturbation"
    C.Gérot, B.Mateï and S.Meignen
    Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics, vol. 349, Issues 13-14, 2011, p.714-744

Box-Splines et schéma lifting pour des objets animés 3D

  • Travaux entrepris avec Frédéric Payan, Basile Sauvage et Franck Hétroy (Projet PPF Maths-Info 2009 et projet Jeunes Chercheurs GdR ISIS 2007)

Décompositions de matrices

Maillages en Mouvement


Dans les derniers travaux évoqués dans le premier thème, la nécessité de pouvoir comparer des maillages animés s'est fait jour.
  • Travaux entrepris avec Franck Hétroy et Annick Montanvert (Projet PPF Maths-Info 2009 et stage M2R de François Duplaix 2009)

Modélisation de surfaces par un atlas de cartes


Le terme "surface" désigne un objet dont tout le monde a une intuition. Et lorsqu'il s'agit d'en donner une définition mathématique, la première idée est d'en donner une description paramétrique (ou implicite). Mais l'on sent bien que les propriétés de l'objet ainsi décrit ne peuvent être réduites à celles de la description que l'on en a donné. Ainsi a-t-on cherché à définir des propriétés indépendantes de toute paramétrisation telles que les continuités géométriques. Or l'idée même de propriété indépendante de toute description particulière rappelle la notion d'ensemble quotient. Les descriptions d'un même objet seraient dites équivalentes, et l'on chercherait alors à définir des propriétés non pas sur une description mais sur un ensemble de descriptions équivalentes, autrement dit sur un élément de l'ensemble quotient. Et cette idée existe déjà en géométrie différentielle avec la relation d'équivalence entre atlas décrivant une même variété.

Utilsation pour les surfaces utilisées en Animation

  • "Simple flexible skinning based on manifold modeling"
    F. Hétroy, C.Gérot, L. Liu and B. Thibert
    In International Conference on Computer Graphics Theory and Applications (GRAPP09), Lisboa, Portugal, 2009.

Définition par un atlas d'une surface approchant une surface triangulée

Après avoir étudié ce que pouvait être un modèle de surface fondé sur la représentation par un atlas de cartes, j'ai choisi de l'appliquer à l'approximation d'un maillage triangulaire M donné par une surface régulière décrite par un atlas. Ceci se fait en trois temps :
  1. nous approchons M par une famille de primitives (morceaux de plans approchant une région définie sur M,
  2. les primitives sont paramétrées sur des domaines de R2 reliés par des fonctions de transitions qui sont des C1-difféomorphismes,
  3. grâce à cette structure d'atlas et à la définition d'une partition sur celle-ci, nous fondons les primitives entre elles par combinaison convexe.
surface triangulée surface régulière
D'une surface triangulée à une surface régulière.
Vous pouvez retrouver ces réflexions sur les applications de ce modèle de surface en informatique graphique dans le chapitre 3 (168Kb) de mon mémoire de thèse et dans la publication suivante :
  • "Surface interpolation by means of convex combinations",
    C.Gérot, D.Attali et A.Montanvert,
    T.Lyche, M.-L.Mazure et L.L.Schumaker, Eds., Curve and Surface Design Saint-Malo, 2003, Nashboro Press Nashville TN, p.177-186

Approximation d'une surface triangulée par des plans

Pour appocher une surface triangulée par des plans, je propose de définir un recouvrement de celle-ci, c'est-à-dire un ensemble de régions se superposant et tel que chacune soit bien approchée par un plan. Ce travail a nécessité le recours à des notions de topologie, de graphe, et de simplification de triangulation. Nous avons en particulier démontré que le nerf d'un recouvrement bien formé est une triangulation combinatoire. Tout ceci est présenté dans le chapitre 4 (1Mb) de mon mémoire.
recouvrement grossier recouvrement fin
Exemples de recouvrements sur un maillage de 1002 sommets et 2000 faces.

Approximation C1 d'une couronne polygonale du plan

La deuxième étape de la construction demande la définition de fonctions de transition entre les domaines de paramétrisation des primitives. Cela nous permet de mettre en correspondance les points des primitives que l'on combinera ensuite pour assurer le raccord continu de celles-ci. Aussi ces fonctions de transition doivent être des C1-difféomorphismes entre des parties d'une zone périphérique définie sur chaque domaine, cette zone étant une couronne polygonale. Pour que cela soit possible, il convient alors d'approcher au préalable cette couronne par une couronne lisse. C'est ce que j'ai proposé dans le chapitre 5 (810Kb) de mon mémoire.

Raccord des primitives planes en une surface lisse

Enfin, grâce à ces fonctions de transition, nous pouvons raccorder les primitives planes en une surface lisse par combinaison convexe. J'ai présenté ce raccord dans l'article (1.7Mb) suivant :
  • ``From local approximation to a G^1 global representation'',
    C.Gérot, D.Attali et A.Montanvert,
    P.-J.Laurent, P.Sablonnière et L.L.Schumaker, Eds., Curve and Surface Design Saint-Malo, 1999, Vanderbilt University Press Nashville TN, p.109-118
ainsi que dans le chapitre 6 (340Kb) de mon mémoire.
mélange 3D mélange 2D+h
Exemples de raccords de surfaces.
Ce type de raccord a deux avantages essentiels : l'approximation du maillage triangulaire de départ par la surface qui en résulte est du même ordre que son approximation par les primitives. De plus, il permet de raccorder un nombre quelconques de primitives simultanément.

Grenoble Images Parole Signal Automatique laboratoire

UMR 5216 CNRS - Grenoble INP - Université Joseph Fourier - Université Stendhal